Sobre el principio de incertidumbre generalizado en gravedad cuántica

El proceso de medición en la física es de fundamental importancia, y más aún dentro de la teoría cuántica, pues, es el mismo proceso de medir alguna magnitud física cambia el estado cuántico del sistema en cuestión. Más aún, ciertos pares de magnitudes cuánticas (como la posición y el momento o la energía y el tiempo) no pueden ser medidas simultáneamente con precisión arbitraria, es decir, la precisión con la que se conoce una magnitud depende de la precisión con la que se conoce la otra. En otras palabras, mientras mas precisamente se conoce una de las magnitudes menos precisamente se podrá conocer la otra, esto se conoce como principio de incertidumbre de Heisenberg (establecido en forma de desigualdades) y es un concepto fundamental en la teoría cuántica.

Bueno, hasta ahora solo he hablado de mecánica cuántica, ¿Que tiene que ver todo esto con una teoría cuántica de la gravedad entonces?; Una teoría de gravedad cuántica debería incluir de cierto modo un principio de incertidumbre. Esto es lo que se llama "Principio de incertidumbre generalizado" y fue descrito por primera vez en la teoría de cuerdas, mostrando que es imposible medir distancias menores que la longitud característica de la cuerda.

Una relación parecida surge al considerar un experimento pensado que involucra un proceso de medición en presencia de gravedad, si intentamos medir distancias cada vez mas pequeñas, las fluctuaciones de energía en la región de la métrica que se esta midiendo se hacen mas grandes, y el radio gravitacional (asociado con la energía) se hace mas pequeño.

Se muestra, así, que este radio gravitacional llega a tomar un valor crítico en el cual es igual a la distancia que se desea medir, dicha longitud critica es, en efecto, la longitud de Planck; en este punto se origina un micro agujero negro.

Es decir, la región mínima observable tiene un ancho de la longitud de Planck; cualquier detalle mas refinado es ocultado por el horizonte de eventos del micro agujero negro. Mas aun, cualquier esfuerzo para medir mas allá de dicha región resultara en una fluctuación de energía mas grande y por lo tanto en una región inobservable mayor.

En resumen, se obtiene una generalización para el principio de incertidumbre cuando se consideran situaciones de medición en la cuales la gravedad es importante, y es la presencia de la gravedad la que causa la formación del micro agujero negro cuyo horizonte hace inobservable la región dentro de el.

Cabe mencionar que este experimento pensado se lleva a cabo considerando que el espacio tiempo es continuo a toda escala, a diferencia de lo que sostiene la teoría de Gravedad Cuántica de Lazos (Loop Quantum Gravity), seria interesante ver si es que se puede obtener un principio de incertidumbre partiendo de dicha teoría para ver si concuerda con los obtenidos usando otras aproximaciones a la Gravedad Cuántica.

El experimento pensado se discute con mucho mas detalle en el articulo de Fabio Scardigli "Generalized Uncertainty Principle in Quantum Gravity from Micro Black Hole Gedanken Experiment".

Fractalidad en redes espinoriales

He encontrado que una red espinorial bajo evolución causal adquiere carácter fractal. Claro que esta condición es un caso extremo de la evolución en la que los reacoplamientos de nodos tetravalentes en nodos trivalentes sólo se dan de un modo. El fractal en sí es uno llamado Red de Apolonio. Este fractal tiene una dimensión de Hausdorff de 1.3057 aproximadamente. También he encontrado que las perturbaciones (a modo de pila de arena) en la red evolucionada decaen exponencialmente en el tiempo. Esto indica un carácter de criticalidad auto-organizada lo que es propio de topologías libres de escala y permite, en principio, la recuperación del límite continuo en la teoría no perturbativa de la cuantización canónica de la relatividad general. Creo posible trasladar toda red evolucionada de esta manera a su fractal correspondiente y representar los coeficientes de área de la red en los círculos generadores del fractal. Así, se podría estudiar la equivalencia entre redes evolucionadas mediante transformaciones de Möbius de los fractales. Resta, también, generalizar las evoluciones a todos los modos de reacoplamiento y verificar la criticalidad auto-organizada mediante un estudio de percolación dirigida en la red de geodésicas nulas de la red espacio-temporal completa.

Patrones de la naturaleza - Semana cero

Llamo su atención nuevamente sobre el asunto de las redes espinoriales. Vamos a repensar la situación. No permitamos que éste sea un monólogo. Comencemos recordando que en el espacio sólo se pueden dar 5 poliedros regulares. O más simplemente aun: sólo se pueden acomodar 6 triángulos equilateros en dos dimensiones alrededor de un punto; si acomodo 5 creo un objeto concavo (o convexo, depende cómo se mire), si acomodo 7 creo un objeto concavo-convexo. Ambos casos exigen la presencia de una dimensión adicional. De igual manera con los poliedros. En ellos importan el número de aristas que se pongan en contacto, tanto como el numero de aristas de las figuras que hacen cada poliedro. Me explico: por ejemplo, un cubo es un cuerpo cuyas caras tienen cuatro aristas y cuyos vertices (digamos nodos) reunen tres aristas. Todo esto sugiere una manera primitiva de pensar cómo podemos acomodar regularmente objetos en el espacio. Pero, talvez, podríamos, más bien, decir, que ésta es la manera primitiva en que el espacio permite que los objetos se acomoden. La pregunta es: qué tal si mi evolución causal consiste en disposiciones polihédricas de aristas y nodos que llenen el espacio?

Roger Penrose: Before the Big Bang

Roger Penrose habla en la George Mason University como parte de The Aharonov Distinguished Lecture Series. Discute la posibilidad de que hubiera tiempo antes del big bang.

Spin Foams

En LQG, la dinámica está gobernada por un hamiltoniano que está definido en el espacio de los spin networks. Este hamiltoniano sólo actúa sobre los nodos de la red, no existe una variable temporal externa en la teoría y la ecuación dinámica cuántica que reemplaza la ecuación de Schrödinger es la de Wheeler-DeWitt.

Las amplitudes de transición W(s,s') definen el producto escalar en el espacio de soluciones de la ecuación de Wheeler-DeWitt, donde s y s' son dos estados del spin network.

Se puede dar a estas amplitudes una representación como suma sobre caminos, es decir, sumando sobre diferentes historias de acciones de H que llevan un estado s a otro s'. En ese sentido un camino es la historia de mundo de un spin network, con interacciones que ocurren en los nodos y esta historia es una colección de caras (cada una de ellas siendo un spin network).

Entonces un spin foam es una estructura formada por estos conjuntos de caras que a su vez contienen bordes y vértices. Las caras están etiquetadas por los números cuánticos de área j y los bordes por los números cuánticos de volumen i.

Para resumir: un spin network describe la geometría cuántica del espacio, un spin foam hace lo mismo para el espacio tiempo, el espacio tiempo se podría considerar como una superposición de spin foams. Para mas información sobre estas estructuras haz click aquí.

Emisión de rayos X proveniente de los anillos de Saturno

Como ya se vio anteriormente, Saturno es un planeta muy interesante. Vimos que este planeta remite rayos X provenientes del Sol. Siguiendo con el estudio de Saturno, imágenes tomadas por el telescopio Chandra, nos mostraron que los anillos de Saturno también remiten rayos X. Cada anillo principal está formado por muchos anillos estrechos, los que están compuestos básicamente por agua, que podrían ser icebergs o bolas de nieve mezcladas con polvo. Según el artículo "Discovery of Oxygen K
X-ray Emission from the Rings of Saturn" esta emisión de rayos X está dominada por la banda de energía de la línea fluorescente K
-alpha de oxígeno a 0.53 KeV. Esta característica de los anillos de Saturno una vez más nos obliga a investigar más profundamente este planeta. ¿Seguirá sorprendiéndonos Saturno con más curiosidades?

Estructura fractal de "Loop Quantum Gravity"

En el contexto de "Loop Quantum Cosmology" se comprobó que no existe caos en los modelos que clásicamente presentaban ese comportamiento, estos modelos clásicos son conocidos como "Bianchi IX".

Por otro lado, recientemente se obtuvo (en el contexto de "Loop Quantum Gravity" y usando argumentos relacionados con la cuantización de la longitud, el área y el volumen) la dimensión fractal espacial que va de 2 hacia 3 pasando por una dimensión fractal de 1,5. También se encontraron similares propiedades fractales en modelos causales para el Universo.

Sin duda alguna es un tema que necesita ser más investigado, se precisan herramientas matemáticas relacionadas con la mecánica estadística fuera del equilibrio y métodos computacionales.

Tendiendo un puente

El poder unificador de la física está en la matemática que subyace en la analogía inherente a muchos comportamientos aparentemente disímiles. Por ejemplo, es posible tender un puente electromecánico cuando reconocemos la fuerza en el voltaje, la velocidad en la corriente o la fricción en la resistencia. De igual forma, se han asociado campos como la cosmología y la acústica donde ahora se estudian agujeros negros acústicos... Y así, leyendo un review de Steven Strogatz sobre redes complejas aprendí que se pueden asignar puntos fijos, ciclos límite o, incluso, atractores a los nodos de una red compleja. En el supuesto que una red espinorial se pueda considerar como tal, la pregunta es: en qué caso(s) se puede(n) asignar tales tipos de variedades compactas a los nodos que, como sabemos, tienen asociados un autovalor de volumen?

Creo que se puede atacar la evolución de una red espinorial respondiendo ese tipo de pregunta. Más aun, qué sucedería si el atractor asociado al nodo es extraño? Hablaríamos de una estructura fractal? Pero qué consecuencias tendría para la red? Talvez sea hora de acuñar términos como fractal loops... El puente se está empezando a tender.

Más sobre la red primordial...

Como se había dicho antes, el espacio (dentro de la perspectiva de la Loop Quantum Gravity) está constituido por una red llamada "spin network"; tal red está caracterizada por ciertos números cuánticos (j y m), los cuales están relacionados con los eigenvalores de área y, específicamente, cuando esta red se entrecruza con una sección eficaz de un horizonte (de un agujero negro, por ejemplo) surgen los estados cuánticos de área donde cada una de las punciones está etiquetada con un numero cuántico.

Dentro de este marco es posible realizar un conteo de estados permitidos bajo ciertas restricciones. Después de encontrar el número total de estados cuánticos  es posible realizar un análisis mecánico estadístico que permite el cálculo de la entropía relacionada a la superficie en cuestión (la del agujero negro). Esta "receta" todavía está incompleta ya que el cálculo del número total de estados se lleva a cabo para un horizonte aislado. Queda mucho por investigar acerca de estas interesantes redes que conforman el espacio en sí. Más información acerca de la manera como se calcula la entropía dentro de la LQG, se puede encontrar en el artículo de P. Mitra: Black hole state counting in Loop Quantum Gravity.

Albert Einstein

Albert Einstein es una figura mítica no solo en el ambiente académico. El cambió la concepción del Universo a todo el mundo. Fue una mente rebelde que luchó por la paz y la justicia social. A continuación hay varios links del YouTube sobre la vida de Albert Einstein. Quería solamente recordar que hay varias orientaciones sobre la vida de Einstein, algunas de ellas pueden ser intencionales y otras realmente profundas. Para entender en toda su amplitud su vida es importante leer sobre la vida de Einstein de forma crítica, siempre viendo las referencias y objetivos: Albert Einstein 1, Albert Einstein 2, Albert Einstein 3, Albert Einstein 4, Albert Einstein 5, Albert Einstein 6, Albert Einstein 7, Albert Einstein 8, Albert Einstein 9.