Fractalidad en redes espinoriales

He encontrado que una red espinorial bajo evolución causal adquiere carácter fractal. Claro que esta condición es un caso extremo de la evolución en la que los reacoplamientos de nodos tetravalentes en nodos trivalentes sólo se dan de un modo. El fractal en sí es uno llamado Red de Apolonio. Este fractal tiene una dimensión de Hausdorff de 1.3057 aproximadamente. También he encontrado que las perturbaciones (a modo de pila de arena) en la red evolucionada decaen exponencialmente en el tiempo. Esto indica un carácter de criticalidad auto-organizada lo que es propio de topologías libres de escala y permite, en principio, la recuperación del límite continuo en la teoría no perturbativa de la cuantización canónica de la relatividad general. Creo posible trasladar toda red evolucionada de esta manera a su fractal correspondiente y representar los coeficientes de área de la red en los círculos generadores del fractal. Así, se podría estudiar la equivalencia entre redes evolucionadas mediante transformaciones de Möbius de los fractales. Resta, también, generalizar las evoluciones a todos los modos de reacoplamiento y verificar la criticalidad auto-organizada mediante un estudio de percolación dirigida en la red de geodésicas nulas de la red espacio-temporal completa.

Spin Foams

En LQG, la dinámica está gobernada por un hamiltoniano que está definido en el espacio de los spin networks. Este hamiltoniano sólo actúa sobre los nodos de la red, no existe una variable temporal externa en la teoría y la ecuación dinámica cuántica que reemplaza la ecuación de Schrödinger es la de Wheeler-DeWitt.

Las amplitudes de transición W(s,s') definen el producto escalar en el espacio de soluciones de la ecuación de Wheeler-DeWitt, donde s y s' son dos estados del spin network.

Se puede dar a estas amplitudes una representación como suma sobre caminos, es decir, sumando sobre diferentes historias de acciones de H que llevan un estado s a otro s'. En ese sentido un camino es la historia de mundo de un spin network, con interacciones que ocurren en los nodos y esta historia es una colección de caras (cada una de ellas siendo un spin network).

Entonces un spin foam es una estructura formada por estos conjuntos de caras que a su vez contienen bordes y vértices. Las caras están etiquetadas por los números cuánticos de área j y los bordes por los números cuánticos de volumen i.

Para resumir: un spin network describe la geometría cuántica del espacio, un spin foam hace lo mismo para el espacio tiempo, el espacio tiempo se podría considerar como una superposición de spin foams. Para mas información sobre estas estructuras haz click aquí.

Tendiendo un puente

El poder unificador de la física está en la matemática que subyace en la analogía inherente a muchos comportamientos aparentemente disímiles. Por ejemplo, es posible tender un puente electromecánico cuando reconocemos la fuerza en el voltaje, la velocidad en la corriente o la fricción en la resistencia. De igual forma, se han asociado campos como la cosmología y la acústica donde ahora se estudian agujeros negros acústicos... Y así, leyendo un review de Steven Strogatz sobre redes complejas aprendí que se pueden asignar puntos fijos, ciclos límite o, incluso, atractores a los nodos de una red compleja. En el supuesto que una red espinorial se pueda considerar como tal, la pregunta es: en qué caso(s) se puede(n) asignar tales tipos de variedades compactas a los nodos que, como sabemos, tienen asociados un autovalor de volumen?

Creo que se puede atacar la evolución de una red espinorial respondiendo ese tipo de pregunta. Más aun, qué sucedería si el atractor asociado al nodo es extraño? Hablaríamos de una estructura fractal? Pero qué consecuencias tendría para la red? Talvez sea hora de acuñar términos como fractal loops... El puente se está empezando a tender.

Más sobre la red primordial...

Como se había dicho antes, el espacio (dentro de la perspectiva de la Loop Quantum Gravity) está constituido por una red llamada "spin network"; tal red está caracterizada por ciertos números cuánticos (j y m), los cuales están relacionados con los eigenvalores de área y, específicamente, cuando esta red se entrecruza con una sección eficaz de un horizonte (de un agujero negro, por ejemplo) surgen los estados cuánticos de área donde cada una de las punciones está etiquetada con un numero cuántico.

Dentro de este marco es posible realizar un conteo de estados permitidos bajo ciertas restricciones. Después de encontrar el número total de estados cuánticos  es posible realizar un análisis mecánico estadístico que permite el cálculo de la entropía relacionada a la superficie en cuestión (la del agujero negro). Esta "receta" todavía está incompleta ya que el cálculo del número total de estados se lleva a cabo para un horizonte aislado. Queda mucho por investigar acerca de estas interesantes redes que conforman el espacio en sí. Más información acerca de la manera como se calcula la entropía dentro de la LQG, se puede encontrar en el artículo de P. Mitra: Black hole state counting in Loop Quantum Gravity.

La red primordial, la red básica, la red en evolución

El espacio-tiempo es una red en la que se desenvuelven los estados cuánticos de los procesos que conforman la historia del Universo, desde sus escalas más fundamentales hasta sus confines más extensos. Más particularmente, esta red, llamada spin network, auna los factores que hacen posible una descripción completa de la versión del multiverso en el que vivimos: los que habían sido considerados, hasta hace poco, distintos... la geometría relativista y el caracter discreto y cuántico de la naturaleza. Pero la cuestión es cómo entender la evolución temporal de una red tal. La herramienta para hacerlo parece prestarse de la dinámica no lineal. Talvez podremos comparar los nodos y las aristas de un componente de la red en función de los nodos y las aristas de una evolución fractal, lo que abiertamente sugiere un caso de autosimilitud. (Agujeros negros que en su interior amparan otros universos, con nuevas constantes fundamentales, con nueva física! Universos que crean nuevos agujeros negros!) Es un camino nuevo que hay que explorar. La receta parece complicada, digna de un hechicero... variables loop, variables de Ashtekar, métricas compactadas en una delta de Dirac, algebras diagramáticas... Como Machado dice: "Caminante, no hay camino. Se hace camino al andar..."  Y para comenzar tal camino, talvez quieran considerar el que R. Penrose (creador de la idea de los spin networks) propone y brillantemente introduce en The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe.